[이산수학] 논리와 명제-2

항진 명제와 모순 명제

• 항진 명제 : 합성 명제를 구성하는 단순 명제들의 진리값에 관계없이 해당 합성 명제의 진리값이 항상 참의 값을 가지는 명제
• 모순 명제 : 합성 명제를 구성하는 단순 명제들의 진리값에 관계없이 해당 합성 명제의 진리값이 항상 거짓의 값을 가지는 명제

항진 명제의 부정은 모순 명제이며, 모순 명제의 부정은 항진 명제이다.

논리적 동치 관계

논리적 동치란 두 개의 명제 p, q의 쌍방 조건 p↔q가 항진 명제이면, 두 명제는 논리적 동치 관계라고 하며 p≡q, p⇔q로 표시한다. 

즉, 논리적 동치 관계의 두 명제 p, q는 같은 논리값을 가진다는 의미이다.

 

💡 두 명제가  논치적 동치일 경우는 두 명제의 논리값이 서로 같으므로 하나의 명제가 다른 명제를 대신하여 사용할 수 있다.

 

예를 들어, p→q와 ~p∨q의 관계를 살펴보자.

p	q	p→q	~p	q	~p∨q
T	T	T	F	T	T
T	F	F	F	F	F
F	T	T	T	T	T
F	F	T	T	F	T

p→q와 ~p∨q는 같은 논리값을 가지고 있기 때문에 논리적 동치 관계라는 것을 알 수 있다.

논리적 동치 관계의 기본 법칙

논리적 동치 관계임을 입증하는 방법은 2가지가 존재한다. 

1. 진리표로 관계 증명
2. 논리적 동치 관계의 기본 법칙 이용

1번의 방법인 진리표로 관계를 증명하는 방식은 위에 예시와 같다. 2번의 방법인 기본 법칙은 하나의 명제로부터 논리적 동치 관계의 기본 법칙을 이용하여 다른 명제로 유도해내는 방법을 말한다.

논리적 동치 관계의 기본 법칙

예를 들어 ~(~p∧q)∧(p∨q) ≡ p임을 증명해보자.

~(~p∧q)∧(p∨q) ≡ (~(~p)∨~q)∧(p∨q)        : 드 모르간의 법칙
                         ≡ (p∨~q)∧(p∨q)               : 이중 부정 법칙
                         ≡ p∨(~q∧q)                      : 분배 법칙
                         ≡ p∨F                               : 부정 법칙
                         ≡ p                                    : 항등 법칙

추론

추론(Argument) : 주어진 명제가 참인 것을 바탕으로 새로운 명제가 참이 되는 것을 유도해내는 방법.

여기서 말하는 주어진 명제를 전제(premise)라 하고 새로 유도된 명제는 결론(conclusion)이라고 한다. 

💡추론의 전제 명제는 참의 값을 가지는 것을 잊지말자!!

추론은 결론의 진리값에 따라 종류를 나눌 수 있다.

• 유효 추론(valid argument) : 전제가 참이고 결론도 참인 추론
• 허위 추론(fallacious argument) : 전제가 참이고 결론은 거짓인 추론

여러 가지 추론 법칙