[이산수학] 함수

함수란?

함수는 관계의 특수한 형태로서, 집합 A 원소들과 다른 집합 B의 원소들 간에 관계를 나타내는 순서쌍 중에서 집합 A의 모든 원소가 한 번씩만 순서쌍에 포함되는 경우를 말하며 사상(Mapping)이라고도 한다.

 

두 집합의 함수는 f로 표기하며 집합 X에서 Y로의 관계의 부분 집합이다. 

함수를 표기하는 방법은 아래와 같다.
☝️
f : X → Y 
이때, X를 함수 f의 정의역이라고 하며, Y를 함수의 공변역이라고 한다. 

✌️
f(x) = y
이때, y를 함수 f에 의한 x의 상(image) 또는 함수값이라고 한다.

정의역, 공변역, 치역

함수 f : X → Y 일 때

• 정의역(Dom(f)) : 집합 X
• 공변역 : 집합 Y
• 치역(Ran(f)) : 함수에 의해 정의역과 대응되는 함수값

두 함수 f와 g가 같은 정의역과 공변역을 가지고, f(x) = g(x)가 성립하면 함수 f와 g는 서로 같다고 할 수 있다.

💡관계와 함수의 차이
함수가 되기 위해서는 정의역에 해당하는 집합의 모든 원소가 공변역에 해당하는 집합의 원소 중 한 개 이상의 관계를 가지고 있어야 한다.

단사, 전사, 전단사 함수

단사 함수

위의 조건을 만족하는 함수를 말한다.

 

단사 함수는 정의역 A의 모든 원소들이 공변역 B의 서로 다른 원소와 대응되기 때문에 일대일 함수라고도 한다. 단사 함수에서 함수의 치역은 공변역의 부분 집합이 된다. 

 

즉, f : A → B에서 Ran(f) ⊆ B이다.

전사 함수

f(a) = b가 성립되는 집합 A의 원소 a가 적어도 하나 존재할 때 함수 f를 전사 함수라고 하며, 공변역 B의 모든 원소가 정의역에 대응되어야 하므로 공변역 = 치역이 성립된다. 즉, Ran(f) = B이다.

 

전사 함수는 모든 함수의 관계가 B의 모든 원소에 반영되므로 반영 함수라고도 한다.

전단사 함수

전단사 함수는 함수 f가 단수 함수이면서 전사 함수일 경우를 말한다. 집합 A의 모든 원소들이 집합 B의 모든 원소와 하나씩 대응되기 떄문에 일대일 대응 함수라고도 한다. 

 

💡함수 f : A → B에서 함수의 성질에 따라 집합 A, B의 원소의 개수

1. 단사 함수 : |A| ≤ |B|
2. 전사 함수 : |A| ≥ |B|
3. 전단사 함수 : |A| = |B|

그 외의 여러가지 함수

합성 함수

두 함수 f : A → B, g : B → C에 대하여 두 함수 f, g의 합성 함수는 집합 A에서 집합 C로의 함수, g∘f : A → C를 의미한다.

  함수 f의 공변역은 함수 g의 정의역이 된다.

💡결합 법칙
세 함수 f, g, h를 각각 f : A→ B, g : B→C, h : C→D라 할 때, 그들의 합성 함수는 다음과 같은 결합 법칙이 성립한다.

h∘(g∘f) = (h∘g)∘f

항등 함수

집합 A에 대한 함수 f가 f : A→A, f(a) = a일 때의 함수를 항등 함수라고 하며 아래와 같이 표기한다.

항등 함수는 x가 항상 자기 자신에게 대응하기 때문에 전단사 함수이다.

역함수

역함수는 함수 f가 전단사 함수일 경우에만 존재한다. 

상수 함수

함수 f : A → B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 오직 한 원소와 대응하는 함수를 상수 함수라고 한다.